1 问题的综述
1.1 问题描述
2020 MCM Problem A: Moving North
Global ocean temperatures affect the quality of habitats for certain
ocean-dwelling species.
When temperature changes are too great for their continued thriving,these species move to seek other habitats better suited to their present and future living and reproductive success. One example of this is seen in the lobster population of Maine, USA that is slowly migrating north to Canada where the lower ocean temperatures provide a more suitable habitat. This geographic population shift can significantly disrupt the livelihood of companies who depend on the stability of ocean-dwelling species.
Your team has been hired as consultants by a Scottish North Atlantic fishery management consortium. The consortium wants to gain a better understanding of issues related to the potential migration of Scottish herring and mackerel from their current habitats near Scotland if and when global ocean temperatures increase. These two fish species represent a significant economic contribution to the Scottish fishing industry. Changes in population locations of herring and mackerel could make it economically impractical for smaller Scotland-based fishing companies,who use fishing vessels without on-board refrigeration, to harvest and deliver fresh fish to markets in Scotland fishing ports.
Requirements
- Build a mathematical model to identify the most likely locations for these two fish species over the next 50 years, assuming that water temperatures are going to change enough to cause the populations to move.
- Based upon how rapidly the ocean water temperature change occurs, use your model to predict best case, worst case, and most likely elapsed time(s) until these populations will be too far away for small fishing companies to harvest if the small fishing companies continue to operate out of their current locations.
- In light of your predictive analysis, should these small fishing companies make changes to their operations?
- If yes, use your model to identify and assess practical and economically attractive strategies for small fishing companies. Y our strategies should consider, but not be limited to, realistic options that include:
. Relocating some or all of a fishing company’ s assets from a current location in a Scottish port to closer to where both fish populations are moving;
- Using some proportion of small fishing vessels capable of operating without land-based support for a period of time while still ensuring the freshness and high quality of the catch.
· Other options that your team may identify and model.
If your team rejects the need for any changes, justify reassgs fior ronreienicehacvon your modeling results as they relate to the assumptions your team has made.
全球海洋温度影响某些海洋生物的栖息地质量。当温度变化太大以至于无法继续生长时，这些物种便开始寻找其他更适合其现在和将来的生活和生殖成功的栖息地。在美国缅因州的龙虾种群中就可以看到一个例子，该种群正缓慢地向北迁移到加拿大，那里较低的海洋温度提供了更合适的栖息地。这种地理上的人口转移会严重破坏依赖海洋生物物种稳定性的公司的生计。
您的团队已被苏格兰北大西洋渔业管理协会聘为顾问。如果全球海洋温度升高，该财团希望更好地了解与苏格兰鲱鱼和鲭鱼可能从苏格兰附近的当前栖息地迁移有关的问题。这两种鱼类代表了苏格兰渔业的重要经济贡献。鲱鱼和鲭鱼种群位置的变化可能会使以苏格兰为基地的小型捕捞公司在经济上不切实际，因为这些捕捞公司使用不带船上制冷装置的渔船来捕捞鲜鱼并将其运送到苏格兰渔港的市场。
3要求：
1.建立一个数学模型，以识别未来50年内这两种鱼类最可能的位置，假设水温将发生足够的变化以致种群迁移。
2.根据海水温度变化发生的速度，使用您的模型预测最佳情况，最坏情况以及最可能经过的时间，直到小型渔业公司继续捕捞这些种群将使小型渔业公司无法收获为止在其当前位置之外进行操作。
3.根据您的预测分析，这些小型捕捞公司是否应该改变其经营方式？
- 如果是，请使用您的模型为小型捕捞公司识别和评估实用且经济上有吸引力的策略。您的策略应考虑但不限于现实的选择，包括： 将部分或全部捕捞公司的资产从苏格兰港口的当前位置迁移到两个鱼类种群都移动的附近； 使用一定比例的小型渔船，这些渔船可以在没有陆上支持的情况下运行一段时间，同时仍确保渔获物的新鲜度和高质量。 您的团队可能会识别和建模的其他选项。
- 如果您的团队拒绝进行任何更改，请根据建模结果来说明拒绝的原因，因为建模结果与您的团队所做的假设有关。
使用您的模型来解决如果有一部分渔业移至另一个国家的领海（海域）时您的提案受到的影响。
除了您的技术报告外，还要为Hook
Line和Sinker杂志准备一到两页的文章，以帮助渔民了解问题的严重性以及您提出的解决方案将如何改善他们的未来业务前景。
您提交的内容应包括：
一页摘要表 目录 一页至两页的文章
您的解决方案不超过20页，最多包含摘要，目录和文章的24页。
1.2参赛状况
1.2.1 选题情况
2020年美赛中，3852个队伍选A题，2455个队伍选B题，7446个队伍选C题，1889个队伍选D题，2284个队伍选E题，2327个队伍选F题。
1.2.2 获奖情况
2020年美赛O奖（Outstanding Winner）的37支队伍中，MCM（A、B、C）有19支，ICM（D、E、F）有18支；获得O奖的19支队伍中有一支来自美国的NC
School of Science and
Mathematics；其余18支均来自中国，包括北京理工大学，哈尔滨工业大学（AMS），东北电力大学，西南交通大学，天津工业大学，电子科技大学，对外经济贸易大学，北京师范大学，上海交通大学，深圳大学，武汉大学，西安交通大学等。
MCM参赛队伍中，共19支队伍（<1%）获得O奖，180支队伍(1%)获得F奖，839支队伍(6%)获得M奖，3522支队伍(26%)获得H奖，8941支队伍(65%)获得了S奖。
ICM参赛队伍中，18支队伍获得O奖，234支队伍获得F奖，564支队伍获得M奖，1565支队伍获得H奖，4612支队伍获得了S奖。
在ICM中，O奖不到1%，F奖占3%，M奖占8%，高于MCM；H奖占22%，低于MCM；S奖占比66%。
2 问题的背景资料
2.1 问题应用背景
全球变暖引起海水表面温度上升，苏格兰大西洋中的鱼类将会向北方温度更低，更适合生存的海域迁徙，这会对渔民收入产生一定影响。此外，英国脱欧后，北大西洋海域可能引发一场渔业冲突。例如位于爱尔兰以北，苏格兰以西的罗卡尔岛，周围海域鱼类资源丰富，但其主权一直备受争议。历史上该岛一直被英国控制，但欧盟从未承认过罗卡尔的归属。英国脱欧后，苏格兰和爱尔兰之间的“罗卡尔争端”再次升级，苏格兰甚至声称要“脱英”重返欧盟。本题针对以苏格兰为基地的小型捕捞公司，帮助他们预测鱼群的迁徙并尝试提供更好的运营方案。
2.2 问题技术背景
时间序列分析ARIMA模型/灰色预测
曲线拟合/元胞自动机
成本效益模型
3 本问题的常用建模思路
针对第一与第二问，需要建立海水温度变化模型和鱼群迁移与海水温度关系模型。海水温度变化常用常用时间序列分析ARIMA模型或者灰色模型。针对第三与第四问，针对小型捕捞公司提出经济策略，可以使用成本效益模型；针对第五问，给出论文结论，并为渔民提出策略。
4.模型的相关介绍
4.1建模假设
1.鱼群主要分布在北美和西欧附近海域；
2.只考虑鱼群迁徙在经纬度上的位置改变，鱼群分布由海洋表面的温度决定；
3.鱼群的迁移路径是连续的； 4.海洋表面的温度随时间变化有一定的稳定趋势；
5.渔业公司只根据捕捞收益决定是否改变经营方式；
6.影响捕捞的因素除了第四题的领海，只有距离、苏格兰鲱鱼和鲭鱼种群的密度。
4.2模型的解释与分析
4.2.1海水温度变化预测模型
时间序列分析ARIMA模型
ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归,p为自回归项;MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
主要思路：绘制时序图，判断是否有明显趋势及是否平稳；差分运算得平稳的时间序列，确定差序，ARIMA建模；模型：序列值+随机项，延迟算子BB；检验平稳性，差分运算提取确定性信息（确定性趋势函数）；白噪声检验（序列值之间无相关性）与ARIMA拟合。（37组初稿，不再赘述）
灰色预测
在部分年份数据缺失的情况下，为了使结果更精确，也可以采用灰色预测模型GM。
灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
主要思路：
步骤一：遍历所有非陆地的经纬度点，读入其表面温度数据
步骤二：检验原始数据数列级比是否落在可容覆盖区间
内。若是，则适用模型；否则须对数据进行处理
步骤三：利用最小二乘法解对应的微分方程，得到，建立模型
步骤四：检验误差，若满足，则模型达到要求
步骤五：预测未来的海平面温度数据
4.2.2 鱼群与海水温度变化模型
较为直观的一种思路，是根据鲱鱼和鲭鱼的不同生活习性，粗略选择离散的迁移点。然后，选择位置坐标，用最小二乘法进行拟合，得到鲱鱼和鲭鱼的迁移路径。
更多论文选择的是先对海域分区，而后寻找鱼群最适温度与耐受关系，利用Moore型元胞自动机，决定鱼群迁徙。也有引入鱼群密度分布，通过描绘各点与鱼群最适宜温度温度差计算鱼群迁移的。
思路一：曲线拟合
在先前的建模中，我们已经获得了未来50年海域温度的变化图，还可获得此海域的温度等值线图。以十年为间隔，通过观察图像与等值线图，我们粗略选择数据点，利用最小二乘法进行拟合。
思路二：元胞自动机
Netlogo是一款仿真软件，能够模拟大量可移动主体在二维平面内、一定环境下的交互运动，其中一支O奖队伍利用此软件进行鱼群迁移的分析，取得了不错的效果。
- 步骤一：根据已有数据估算海域内的鱼群数量 -
步骤二：根据已获得的数据确定鱼群的初始分布情况。此处采用ICES的划分方式，即以30英里纬度和1°经度定义的区域，将海域划分为网格。
- 步骤三：由第一问的海洋温度变化模型，在每次鱼群运动前对海域温度进行调整
-
步骤四：确定鱼群运动规则————每次都朝着周围八个温度块中，温度最接近适宜温度的方格移动；若所处位置温度适宜，则不发生移动；若所处位置温度较低，则进入“逃逸状态”，随机移向周围八个方块中。
4.2.3 成本效益模型
成本包括固定成本如设备和人工成本，可变成本如渔船燃料随渔场距港口距离而变化。
总成本可表示为其中为固定资产，为捕鱼可变成本为捕鱼点到港口的距离。
总收入可表示为
其中为鱼群密度，θ为捕鱼系数（捕鱼量占总鱼量比例）
鱼的价格随距离变化关系表示为
根据利润=收入-成本，总利润为
根据官网数据，统计单位捕鱼平均收入P_mean,单位捕鱼平均成本C_mean，单位捕鱼平均利润r_mean,最大航行范围L̂ 利用如下关系式计算相关参数：
,
,
考虑购买新的冷冻渔船
为搬迁次数乘以搬迁成本
考虑着鱼群迁移捕鱼公司
其中m为购买冷冻渔船的数量
考虑跨境捕鱼受联合国海洋公约法的影响
由上一问数据得两周鱼群分别向挪威和冰岛迁徙，由不同的环境和法规可计算阻力系数分别
4.3 实验结果
如果公司不做出任何改变很有可能在2040年无法获得任何收益，对于资金不是很充足的苏格兰小型渔船公司可采取先购买保鲜冷冻船只，一段时间后再搬迁公司的策略来保证渔船公司的利益最大化。条件允许也可以捕捞新的鱼种来增加收益。
4.4可视化
海水温度预测模型
2045年和2070年的SST预测结果如图所示：
鱼群与海水温度变化模型
曲线拟合获得的两种鱼类迁移曲线：
在Netlogo中运行后，得到鲱鱼群的分布如下图所示：
鲭鱼群分布如下图：
成本效益模型
渔业公司不采取任何策略收益随年份变化如图
渔业公司搬迁比例对利润的影响
渔业公司购买新型冷冻渔船对利润的影响
渔业公司捕捞新鱼种对利润影响
5 对于模型优劣的分析
5.1 模型的优势
灰色预测：在部分年份数据缺失的情况下依然可以保证预测结果的相对准确性
曲线拟合模型：此模型直白，容易实现。且原小组利用可视化结合此模型将迁移过程描述的更加直观。
元胞自动机：更符合自然条件下鱼群与环境交互的情况，能够将更多的因素（如迁移速率、鱼群的死亡、渔船的捕捞等）纳入考虑当中，更具说服力。
5.2 模型的不足
灰色模型：只适用于中短期的预测
曲线拟合模型：考虑到的因素较少，将鱼群的行动完全视作一个整体运动的点，不符合鲱鱼和鲭鱼在海域内广泛分布的情况。应当审慎采用。
元胞自动机：迁移速率与温度梯度的关系在实际建模时被忽视；以每天为单位考虑鱼群的运动，运算量大，对笔记本的指令处理速度有所要求。
成本效益模型：假设人工成本为不变量，在捕捞公司实际迁移过程中，不同地区人工费用是变量。本模型简化鱼的价格与距离呈指数下降关系，可以进一步讨论船的航速、气候、供求关系对价格的影响。
6 可以继续讨论的问题
鱼群的分布不仅仅与海水温度有关，渔业公司的经营方式也受地形，人工费用等其他因素影响
7 参考文献
1，历年海洋表面温度
data.tpdc.ac.cn/zh-hans/data/cc45adf0-5eeb-4299-a5f7-af67213015ae/
[Ge, Y., Li, Q., Dong, W. (2020). Global ocean temperature and ocean wind dataset (1990-2018). National Tibetan Plateau Data Center, DOI:10.11888/Disas.tpdc.270421. CSTR: 18406.11.Disas.tpdc.270421. ]
Cheng L. and J. Zhu, 2016, Benefits of CMIP5 multimodel ensemble in reconstructing historical ocean subsurface temperature variation,Journal of Climate. 29(15),5393-5416,doi:10.1175/JCLI-D-15-0730.1Wentz, F.J., Ricciardulli, L., Hilburn, K., & Mears, C. (2007).
How much more rain will global warming bring?. Science, 317(5835),233-235
ARIMA模型 https://zhuanlan.zhihu.com/p/342764105
海水表面温度数据https://psl.noaa.gov/data/gridded/data.crutem4.html
http://mds.nmdis.org.cn/pages/dataViewDetail.html?type=1&did=&dataSetId=31