1 问题的综述
1.1 问题描述
1.1.1 英文原文
Wherever there are recreational sandy ocean beaches in the world, there seem to be children (and adults) creating sandcastles on the seashore. Using tools, toys, and imagination, beach goers create sandcastles that range from simple mounds of sand to complicated replicas of actual castles with walls, towers, moats, and other features that mimic real castles. In all these, one typically forms an initial foundation consisting of a single, nondescript mound of wetted sand, and then proceeds to cut and shape this base into a recognizable 3-dimensional geometric shape upon which to build the more castle-defining features.
Inevitably, the inflow of ocean waves coupled with rising tides erodes sandcastles. It appears,
however, that not all sandcastles react the same way to waves and tides, even if built roughly the same size and at roughly the same distance from the water on the same beach. Consequently, one wonders if there exists a best 3-dimensional geometric shape to use for a sandcastle foundation.
Requirements
1. Construct a mathematical model to identify the best 3-dimensional geometric shape to use as a sandcastle foundation that will last the longest period of time on a seashore that experiences waves and tides under the following conditions:
built at roughly the same distance from the water on the same beach, and built using the same type of sand, roughly the same amount of sand, and the same waterto-sand proportion.
2. Using your model, determine an optimal sand-to-water mixture proportion for the castle
foundation, assuming you use no other additives or materials (e.g. plastic or wooden supports, stones, etc.).
3. Adjust your model as needed to determine how the best 3-dimensional sandcastle foundation you identified in requirement 1 is affected by rain, and whether it remains the best 3-dimensional geometric shape to be used as a castle foundation when it is raining.
4. What other strategies, if any, might you use to make your sandcastle last longer?
5. Finally, write an informative, one- to two-page article describing your model and its results for publication in the vacation magazine: Fun in the Sun, whose readers are mainly non-technical.
1.1.2中文翻译
世界上凡是有休闲沙滩的地方，似乎都有孩子(和大人)在海边堆沙堡。去海滩的人利用各种工具、玩具和想象力，创造出各种各样的沙堡，从简单的沙堆到复杂的带有城墙、塔楼、护城河和其他模仿真正城堡的特征的真实城堡的复制品。在所有这些沙堡中，通常会先形成一个初始的地基，该地基由一个单一的，无形状的湿沙丘组成，然后将其切割并成形为可识别的3维几何形状，从而在其上构建更具城堡意义的特征。
不可避免地，海浪的流入以及涨潮会侵蚀沙堡。然而，即使沙堡是建在同一个海滩上，其大小以及与海水的距离都差不多，似乎并不是所有的沙堡对波浪和潮汐的反应都是一样的。因此，人们想知道是否存在一个最佳的三维几何形状用于沙堡的地基。
要求
- 建立一个数学模型，以确定在下列条件下，在经历波浪和潮汐的海岸上持续时间最长的沙堡地基的最佳三维几何形状：在同一海滩上与水的距离大致相同的地方建造，并且建造使用相同类型的沙子，大致相同数量的沙子，和相同的水与沙子的比例。
- 假设你没有使用其他添加剂或材料(如塑料或木制的支撑，石头等)，使用你的模型，为城堡的地基确定一个最佳的水沙混合比例。
- 根据需要调整你的模型，以确定你在要求1中确定的最佳三维沙堡地基如何受到雨的影响，以及该地基是否仍然是下雨时用作城堡基础的最佳三维几何形状。
- 如果可以的话，你还可以使用其他哪些策略来使沙堡持续更长的时间？
- 最后，写一篇内容翔实、一到两页的文章，描述你的模型及其结果，并发表在度假杂志《阳光下的乐趣》(vacation magazine: Fun in the Sun)上，其读者主要是非技术性人员。
1.2 参赛状况
1.2.1 选题情况
2020年MCM共有20954支队伍参赛，其中有2455支队伍选择B题（持续时间最长的沙堡），占整体的18%。
2 问题的背景资料
2.1 问题应用背景
该问题主要探讨了一个建筑的稳定性与各种因素之间的联系，涉及流体力学、结构力学、建筑学、材料力学等学科领域。对沙堆以及海浪进行合理的受力分析，需要在以上领域中查找相关理论。对本题的求解可以应用于建造抗灾害等级高的建筑等工程建造，也可在有限元分析中对相似的问题提供参考。
2.2 问题技术背景
- 元胞自动机（CA）：
可以将沙堡视作由大量空间格点（元胞）组成，元胞的状态可以是水、沙粒、空元胞三种。
- 多元分析
- 莫里森方程
为分析波浪对沙堡的冲击力，引入莫里森方程。
- 莫尔-库仑理论
土体稳定问题分析的基础，符合本题中需要的沙堡坍塌条件。
- ANSYS模拟
如果有工科背景，可以将计算机辅助软件引入本题沙堡的工程分析中。
3 本问题的常用建模思路
- 第一问：参考相关理论，建立海浪或潮汐对沙堡产生破坏的模型，给出沙堡坍塌的临界条件
- 海浪对沙堡的破坏作用是本题中最关键的部分，一个很好的想法是建立元胞自动机模型，将沙颗粒和水分子作为元胞的状态，从微观层面描述其相互作用。另一个可行的途径是查阅已有的相关理论，用经典的受力分析进行建模。
- 第二问：在第一问中的模型中应当已经包含sand-water ratio这一参数，在第二问中将其作为分析对象
- 第三问：关于雨水的作用，不同的参赛队都有各自认可的理论，比较易于接收的是雨水起到两方面的作用：
- 改变sand-water ratio
- 雨水的冲刷减小沙堡的体积
4 模型的相关介绍
4.1 建模假设
- 波浪的波高不随运动而衰减
- 忽略沙堡自身重力的影响
- 海水无差别地渗透进入沙堡
- 沙堡具有相同的高度和体积
4.2 模型的解释与分析
分析六种常见的较稳定3维几何结构
立方体 | 圆柱体 | 等边三棱柱 |
圆台 | 三棱台 | 四棱台 |
- Airy波理论，建立海浪模型：
其中，η为波高，x为到沙堡的距离，t为时间
带入文献数据：
得出波速和加速度：
- Morison Equation描述海浪的冲击力：
其中，ρ, Cm, V都以常量带入，Cd是阻力系数，由表面形状决定，A是正对海浪的面积
- M-C Yielding Criteria决定坍塌条件：
该队伍对M-C Yielding
Criteria进行了简化，最终得出沙堡的坍塌条件为：
其中，ϕ是最小内部摩擦角，τn是剪切应力，σn是正应力，F是海浪的冲击力，A是剪切面的面积，S是受力的面积。
因此，算出海浪对沙堡的冲击力F，沙堡的剪切面面积，受力面面积即可得到最小内部摩擦角ϕ
查找资料后，发现内部摩擦角g(w)与材料含水量w存在如下关系：
因此，当g(w) < ϕ时，沙堡坍塌。
- 联合使用Horton’s equation 和 Van Genuchten Model 给出海水足以浸泡沙堡后，沙堡的含水量随时间变化的公式：
（公式略，曲线如下：）
由此便可以通过t时刻的含水量求出此时的内部摩擦角，根据其与ϕ的大小判断是否坍塌
- 对第三问中雨水作用的分析：
认为雨水对沙堡有两方面影响：
- 冲刷沙堡，使其体积减小，仍然通过代入一系列公式（此处略），给出曲线
- 改变含水量，从而改变内部摩擦角
对给定的降雨强度i
(mm/min)可以计算：
- 沙堡被冲刷后的体积变化：
其中，K2是腐蚀系数，P是沙堡的体积，i是降雨强度
- 通过文献理论及数据，得出对应的雨水降落速度，代入Van Genuchten Model可以得出此时含水量随时间的变化。
此外，降雨时g(w)与ϕ均随含水量改变，的表达式应当与原先相同，对于ϕ给出如下线性回归结果:
此时，通过以下算法步骤，计算沙堡坍塌的时间：
4.3 实验结果
- 第一问：
以立方体为例进行分析。
该队伍使用了美国某海滩涨潮高度的数据。定义基准面，潮汐初始高度，沙堡下平面的高度，初始含水量。通过代入公式，最终计算出坍塌所需的时间。
- 基准面：低潮时的海平面。初始潮高为0.3m，沙堡底部高度为0.45m。
- 沙堡：0.4m x 0.3m x 0.3m的立方体。剪切面面积A= 0.4m x 0.3m。受力面面积$S=$0.3m x 0.3m。
- 第一阶段，海水没有完全浸没沙堡，此时沙堡的含水量为初值20%，计算得到g(w) > ϕ
- 第二阶段，沙堡含水量随时间升高，导致g(w)下降，曲线如下：
- 最终结果为：
经仔细阅读，该队伍并没有交代effective wave height，个人理解为此时浸没沙堡（改变其含水量）所需的波高。
该队伍通过改变剪切面面积A，受力面面积S的赋值，做了敏感性分析，得出“ϕ-长宽比”曲线。
- 第二问：
事实上在该队伍建立的模型中，初始含水量越小，计算得到的持久时间便越长。然而，由内部摩擦角g(w)与材料含水量w存在的二次函数关系，当w = 15%时，沙堡具有最稳定的结构。（此处，w = 15%的极点与他们原先给出的公式存在矛盾，有谬误，但整体上没有影响）
- 第三问：
可以通过将雨水落下的速度代入Van Genuchten Model计算沙堡含水量，再通过降雨时ϕ和含水量w的函数关系计算此时的ϕ，同时，按照第一问中的方法计算g(w)，判断是否坍塌。
- 第四问：
可以从以下两个方面切入：
- 阻止海水渗透进入沙堡：在沙堡中混入吸水的材料，如海绵
- 降低海水对沙堡的冲刷：在沙堡周围额外建立保护层，如城堡那样
4.4 可视化
体积相同，高度相同的六种较稳定三维结构（通过Matlab自制）：
除立方体外，五种结构的压力分布ANSYS模拟
5 对于模型优劣的分析
5.1 模型的优势
- 理论性十分强，物理上十分合理地定义了海浪的冲击、沙堡的坍塌条件等，使模型具有可靠的支撑。
- 合理地引用了大量模型，展现出强大的学术研究实力。
- 尽管各模型有些过于繁琐，且存在一定没有解释得很合理的冲突，但最终仍然做到了自圆其说。
- 该队伍应当有相关工科专业背景，进行ANSYS模拟实验增强模型的高级感和说服力。
5.2 模型的不足
- 运用了大量公式理论，对其中很多参数作出的赋值虽然基本都有注明参考文献，但仍让人觉得这种赋值会让模型的鲁棒性以及说服力大打折扣。
- 用正方体为例进行分析时，没有交代模型中最关键的变量ϕ的取值是如何确定的。
- 过于繁琐。
- 对于海浪、雨水作用的理论描述过于复杂，而最终实际引入时极大地简化了这些理论，得到各变量之间的关系实际上十分简单。另一方面，对沙堡本身结构的讨论十分欠缺，如用Morison Equation描述海浪的冲击力，最终沙堡结构只决定了其中的阻尼系数，而二者之间的关系也没有进行探讨，只是给出了六种结构的对应值。
6 可以继续讨论的问题
尽管模型一开始引入了Morison equation来描述海浪的冲击力，但是进行计算时由于简化M-C Yielding Criteria将其中的F（冲击力）消除了（公式可见4.模型的描述），所以最后这个冲击力并没有被加入到模型中。如果能够更为准确地运用结构力学的受力方法进行分析，模型将具有更好的真实性。
7 参考文献
[1] <https://en.wikipedia.org/wiki/Airy_wave_theory>
[2] <https://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave>
[3] <https://en.wikipedia.org/wiki/Morison_equatio>
[4] Alcaraz, F. C., et al. (2009). "Two-component Abelian sandpile models." Physical Review E 79(4).
[5] Guoren Dou, Fengwu Dong, and Xibing Dou. The sediment carrying capacity of waves and trides. Science Bulleitn, pages 443–446, 1995. 11-1784/N.
[6] Chen Lei, Zhao Jian. Effect of moisture content on shear strength parameters ofclay in dumping ground [J]. Coal Technology, 2016, 35 (12): 170-172.
[7] Fan Zhijie, Qu Jianjun, Zhou Huan. The relationship between the friction angle
in sand and the particle size, water content and natural slope angle [J] .China Desert,
2015,35 (02): 301-305.
[8] Zhang Junhong, Shi Xuchao, Zhang Xinjuan. Experimental Study on the
Influence of Water Content of Loess on Structure [J]. Henan Science, 2010, 28 (12):
1575-1578.
[9] Yao Wenyi, Chen Guoxiang.Rainfall Drop Speed and Final Speed Formula
[J] .Journal of Hohai University, 1993 (03): 21-27.
[10] Thomas C Halsey and Alex J Levine. How sandcastles fall. Physical Review Letters,
80(14):3141, 1998.
[11]Fan, Z., et al. (2015). "The Relationship between Sand Particle Internal Friction Angle and Particle Size,Water Content and Slope Angle." Journal of Desert Research 35(2): 301-305.