灰色评价
灰色综合评价法（Grey Synthetic Evaluation Method）1是一种基于灰色关联度分析的综合评价方法。其在多指标综合评价领域有着较为广泛的应用。
其大致过程是：
- 建立灰色综合评估模型；
- 对各种评价因素进行权重选择；
- 进行综合评估。其中，在进行权重选择时，也可以结合层次分析法，以提高评估的准确性。
理论基础
灰色系统理论
灰色系统理论以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
在灰色系统理论中，白数是指取值完成确定的数，黑数是指取值范围不能确定的数，灰数是指只知其取值范围而不知其确切值的数。信息不完全是灰的基本含义，灰数是灰色系统的基本细胞。
其中灰数向白数的转化过程称为白化，在灰色系统理论中，可以通过对灰数进行白化处理，实现灰数信息描述的清晰化。但是在大多数的灰色系统中，对于在区间[ab]内的灰数，其白化值x虽然介于[ab]间，但取不同值的可能性却不完全相同。于是通常用白化函数来刻画灰数在取值区间之内的偏好程度。
对于多指标分类综合评价而言，当按单项指标对评价对象的价值水平进行分类时，通常将各指标按照实际取值划分为若干个不同的区段，不同区段属于不同的灰类。对灰类的任一白化值，通过计算该白化值的权，便可以确定该地区单项竞争力偏好于特定灰类的程度。通过综合这些程度，便可以判定被评价对象区域竞争力强弱的类型。
灰色关联度分析
关联度是用来评价对象与标准对象的接近程度。关联分析是指通过计算比较序列与参考序列的关联度来定量分析二者间的接近程度。
进行灰色关联分析一般分为以下几步：
1 构造原始数据矩阵,设系统有m个行为序列，没有序列有n个数据点：
$$
\begin{aligned}
Y_0&={y_0(1),y_0(2),\cdots,y_0(n)}\\
Y_1&={y_1(1),y_1(2),\cdots,y_1(n)}\\
\cdots\\
Y_m&={y_m(1),y_m(2),\cdots,y_m(n)}
\end{aligned}
$$
其中Y0为参考序列，Y1, Y2, ⋯, Ym为比较序列，那么可以得到原始数据矩阵：
$$
Y = \left(\begin{array}{llll}
y_{01} & y_{02} & \cdots & y_{0n}\\
y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
y_{m1} & y_{m2} & \cdots & y_{mn}\\
\end{array}\right)
$$ 上述矩阵中，
yij = yi(j) (i=0,1,2,⋯,m;j=0,1,2,⋯,n)
2 数据标准化
对原始数据矩阵数据标准化的方法有：
- 初值像：
$$
x_{ij}=\frac{y_{ij}}{y_{i1}}\quad (i=0,1,2,\cdots,m;j=0,1,2,\cdots,n)
$$ 2. 均值像：
$$
\left\{\begin{array}{ll} x_{ij}=\dfrac{y_{ij}}{\overline{y_i}} &
(i=0,1,2,\cdots,m;j=0,1,2,\cdots,n)\\
\quad \\
\overline{y_i}=\dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{j=1}^{n}y_{ij}
&(i=0,1,2,\cdots,m)
\end{array}
\right.
$$ 3. 区间值像：
$$
x_{ij}=\frac{y_{ij}-\underset{j}{\min}(y_{ij})}{\underset{j}{\max}(y_{ij})-\underset{j}{\min}(y_{ij})}\quad
(i=0,1,2,\cdots,m;j=0,1,2,\cdots,n)
$$
一般地，三种数据标准化方法不宜混用，可根据实际情况选用其一。
3 计算灰色关联系数
$$
r_{ij}=\frac{\underset{i}{\min}\underset{j}{\min}|x_{0j}-x_{ij}|+\theta\underset{i}{\max}\underset{j}{\max}|x_{0j}-x_{ij}|}{|x_{0j}-x_{ij}|+\theta\underset{i}{\max}\underset{j}{\max}|x_{0j}-x_{ij}|}
$$ 计算表达式中，θ ∈ [0,1]为分辨系数，常取θ = 0.5，$\underset{i}{\min}\underset{j}{\min}|x_{0j}-x_{ij}|$为两级最小差，$\underset{i}{\max}\underset{j}{\max}|x_{0j}-x_{ij}|$为两级最大差。
4 得到灰色关联度矩阵
$$
R=\left(\begin{array}{llll}
r_{01} \\
r_{02} \\
\cdots \\
r_{0m}
\end{array}\right)
$$ 其中，第i个比较序列与参考序列之间的灰色关联度$r_{0i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}r_{0j}$。
显然，r0i越大，第i个比较序列在整体上与参考序列越接近。
评价步骤
灰色综合评价法与灰色关联度分析的步骤类似，是对灰色关联度分析的拓展。
1 构造原始数据矩阵
在灰色综合评价模型中，需要用最优指标集替代参考序列。最优指标值可以是某种确定的标准，也可以是评估者公认的最优值，还可以简单地采用：
y0j = Optimum(yij) (i=1,2,⋯,m)
来确定最优指标集。即如果某项指标值越大越好，那么就以该指标在各方案中的最大值为最优标准；如果某项指标越小越好，那么就以该指标在各方案中的最小值为最优标准。替代后按照灰色关联分析相同的方法构造原始数据矩阵。
2 数无量纲化处理
一般地，量纲不同的数据不能相互比较。所以我们需要对原始数据矩阵进行无量纲化处理。
- 数据均值化：将矩阵的每列所有数据除以该列数据的平均值便得到无量纲矩阵。
- 数据初值化：将矩阵的每列所有数据除以该列的第一个数据，得到无量纲矩阵。
3 确定评价矩阵
以最优指标集为参考序列，各评价对象的指标为比较序列，计算第i个评价对象与第j个最优指标集的灰色关联系数。从而可以得到各评价对象与最优指标之间的关联系数rij组成的评价矩阵。
$$
R=\left(\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{12} & \cdots &r_{1n}\\
r_{21} & r_{22} & \cdots &r_{2n}\\
\cdots & \cdots &\cdots &\cdots\\
r_{m1} &r_{m2} & \cdots &r_{mn}\\
\end{array}\right)
$$ 4 得到灰色关联度矩阵
与灰色关联度分析不同的是，各指标间不再是等权的，所以需要视各指标的重要程度为其赋予相应的权重。在这里，也可以通过结合层次分析法来提高评估的准确性。得到权重矩阵：
$$
\begin{aligned}
W=(w_1,w_2,\cdots,w_n) \\
w_j \geq 0 \quad(j=1,2,\cdots,n) \quad \sum_{j=1}^{n}w_j=1
\end{aligned}
$$ 进而得到灰色关联度矩阵
A = W × RT
矩阵A中各评价对象的灰色关联度
$$
a_i=\sum_{j=1}^{n}w_j\times (r_{ij})^T \quad (i=1,2,\cdots,m)
$$
灰色关联度越大，说明其相应的评价对象越接近于最优指标，据此便可排查出各评价对象的优劣顺序。
实例分析
实例分析1
有A、B、C三家建筑公司参加一体育馆建筑工程项目投标，各公司投标方案的技术经济指标见下表。
指标 | 上下浮动限制 | 公司A | 公司B | 公司C |
报价（万元） | 1064.94-1177.03 | 1061 | 1015 | 1125 |
工期（月） | 21.6-25.2 | 22 | 22 | 23 |
钢材用量（吨） | 1300-1477.03 | 1349 | 1402 | 1234 |
木材用量（立方米） | 1001-1061 | 1074 | 968 | 1010 |
水泥用量（吨） | 3880-4120 | 4016 | 4022 | 4362 |
技术水平 | 0-15 | 12.8 | 11.2 | 11.0 |
社会信誉 | 0-5 | 5.0 | 4.8 | 4.7 |
假设各指标权重W = (0.35 0.15 0.10 0.10 0.10 0.15 0.05)。首先利用y0j = Optimum(yij)来确定最优指标集
Y0 = (1064.0 21.6 1300.0 1001.0 3880.0 15.0 5.0)
由题设数据可以得到原始数据矩阵
$$
Y=\begin{pmatrix}
1064.0&21.6&1300.0&1001.0&3880.0&15.0&5.0\\
1061.0&22.0&1349.0&1074.0&4061.0&12.8&5.0\\
1015.0&22.0&1402.0&968.0&4022.0&11.2&4.8\\
1125.0&23.0&1234.0&1010.0&4362.0&11.0&4.7
\end{pmatrix}
$$ 接着采用数据均值化方法来得到无量纲矩阵
$$
X=\begin{pmatrix}
0.9979&0.9752&0.9839&0.9879&0.9507&1.2000&1.0256\\
0.9951&0.9932&1.0210&1.0600&0.9950&1.0240&1.0256\\
0.9519&0.9932&1.0611&0.9553&0.9855&0.8960&0.9846\\
1.0551&1.0384&0.9340&0.9968&1.0688&0.8800&0.9641
\end{pmatrix}
$$ 根据关联系数公式可以求得评价矩阵
$$
R=\begin{pmatrix}
0.9827&0.8986&0.8118&0.6895&0.7830&0.4762&1.0000\\
0.7769&0.8986&0.6745&0.8309&0.8214&0.3448&0.7959\\
0.7366&0.7168&0.7621&0.9474&0.5753&0.3333&0.7222
\end{pmatrix}
$$ 最终得到的评价结果A = (0.8286 0.7309 0.6799).
由于a1 > a2 > a3，故公司A的各项指标更接近于最优指标集，公司A应该中标。
实例分析2
利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合分析
1．分析指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．
2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline \text { 编号 } & \text { 专业 } & \text { 外语 } &
\begin{array}{c}
\text { 教学 } \\
\text { 量 }
\end{array} & \text { 科研 } & \text { 论文 } & \text { 著作
} & \text { 出勤 } \\
\hline 1 & 8 & 9 & 8 & 7 & 5 & 2 & 9 \\
\hline 2 & 7 & 8 & 7 & 5 & 7 & 3 & 8 \\
\hline 3 & 9 & 7 & 9 & 6 & 6 & 4 & 7 \\
\hline 4 & 6 & 8 & 8 & 8 & 4 & 3 & 6 \\
\hline 5 & 8 & 6 & 6 & 9 & 8 & 3 & 8 \\
\hline 6 & 8 & 9 & 5 & 7 & 6 & 4 & 8 \\
\hline
\end{array}
$$
3．确定参考数据列： {x0} = {9, 9, 9, 9, 8, 9, 9}
- 计算|x(k)−x(k)|见下表 $$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text { 编号 } & \text { 专业 } & \text { 外语 } & \begin{array}{c} \text { 教学 } \\ \text { 量 } \end{array} & \text { 科研 } & \text { 论文 } & \text { 著作 } & \text { 出勤 } \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 7 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 1 & 2 & 4 & 1 & 6 & 1 \\ \hline 3 & 0 & 2 & 0 & 3 & 2 & 5 & 2 \\ \hline 4 & 3 & 1 & 1 & 1 & 4 & 6 & 3 \\ \hline 5 & 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 6 & 1 \\ \hline 6 & 1 & 0 & 4 & 2 & 2 & 5 & 1 \\ \hline \end{array} $$
0
i
5.求最值
$$
\begin{aligned}
&\min _{i=1}^n \min _{k=1}^m\left|x_0(k)-x_i(k)\right|=\min
(0,1,0,1,0,0)=0 \\
&\max _{i=1}^n \max _{k=1}^m\left|x_0(k)-x_i(k)\right|=\max
(7,6,5,6,6,5)=7
\end{aligned}
$$
6．ρ取0.5计算，得
$$
\begin{aligned}
&\zeta_1(1)=\frac{0+0.5 \times 7}{1+0.5 \times 7}=0.778, \quad
\zeta_1(2)=\frac{0+0.5 \times 7}{0+0.5 \times 7}=1.000 \\
&\zeta_1(3)=0.778, \quad \zeta_1(4)=0.636, \quad \zeta_1(5)=0.467,
\quad \zeta_1(6)=0.333 \\
&\zeta_1(7)=1.000,
\end{aligned}
$$
同理得出其他值，
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline \text { 编号 } & & & & & & & \\
\hline 1 & 0.778 & 1.000 & 0.778 & 0.636 & 0.467
& 0.333 & 1.000 \\
\hline 2 & 0.636 & 0.778 & 0.636 & 0.467 & 0.636
& 0.368 & 0.778 \\
\hline 3 & 1.000 & 0.636 & 1.000 & 0.538 & 0.538
& 0.412 & 0.636 \\
\hline 4 & 0.538 & 0.778 & 0.778 & 0.778 & 0.412
& 0.368 & 0.538 \\
\hline 5 & 0.778 & 0.538 & 0.538 & 1.000 & 0.778
& 0.368 & 0.778 \\
\hline 6 & 0.778 & 1.000 & 0.467 & 0.636 & 0.538
& 0.412 & 0.778 \\
\hline
\end{array}
$$
7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：
$$
\begin{aligned}
&r_{01}=\frac{0.778+1.000+0.778+0.636+0.467+0.333+1.000}{7}=0.713 \\
&r_{02}=0.614, \quad r_{03}=0.680, \quad r_{04}=0.599, \quad
r_{05}=0.683, \quad r_{06}=0.658
\end{aligned}
$$
8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号．
r01 > r05 > r03 > r06 > r02 > r04
模型变种
在各类建模比赛中，灰色综合评价模型是一类常被应用的从多个候选方案中选择出最佳方案的一种方法。但是在建模比赛中，一般不利用关联系数公式计算关联系数，取而代之的是利用偏离系数公式计算偏离系数rij来对运算过程进行简化，其余过程与传统的灰色评价模型相同。
$$
r_{ij}=\frac{|x_{ij}-x_{0j}|}{\max\{x_{ij}\}-\min\{x_ij\}}
$$ 从偏离系数的定义中可以看出，分母|xij−x0j|衡量xij相对于最优指标x0j的偏离程度，其值越小，相应的评价对象越接近于理想目标。因此在最后进行评价的时候，可以从小到大对评价对象的从优到劣进行排序。
参考代码
修改记录
- 2022-09-14，@刘诗雨重新整理
- 2022-09-04， @柴静怡、唐波昊、郑道涵补充
- 2020-12-10， @刘哲恺重新整理
- 2018-01-28， @王晨创建初始页面
参考文献
- 刘思峰：灰⾊系统理论及其应⽤（第三版）. 河南⼤学出版社，2004.↩︎