网络分析法

网络分析法(ANP)的前身是层次分析法(The analytic hierarchy process,AHP)。

AHP 的核心是将系统划分层次，将同一层次的元素视为相互独立，只考虑上层元素对下层元素的支配作用。但在许多实际问题中,各层次内部元素往往是依存的, 低层元素对高层元素亦有支配作用, 即存在层间反馈，使得系统的结构更类似于网络结构，由此产生了网络分析法(ANP)。

ANP的结构分析

基本组成

ANP首先将系统元素划分为两大部分。

第一部分称为控制因素层, 包括问题目标及决策准则。所有的决策准则均被认为是彼此独立的, 且只受目标元素支配。控制因素中可以没有决策准则, 但至少有一个目标。控制层中每个准则的权重均可用传统的AHP方法获得。

第二部分为网络层, 它是由所有受控制层支配的元素组组成的, 其内部是互相影响的网络结构, 图1即为一个典型的ANP结构。

图1 典型的ANP结构

优势度

AHP的一个重要步骤就是在一个准则下, 将受支配元素两两比较, 由此获得判断矩阵。但在ANP中被比较元素之间可能不是独立的, 而是相互依存的, 因而这种比较将以两种方式进行:

直接优势度:元素间相互独立时，给定一个准则, 将两元素对于该准则的重要程度进行比较。

间接优势度:元素间相互依存时，给定一个准则, 将两个元素在准则下对第三个元素(称为次准则) 的影响程度进行比较。

ANP结构的超矩阵与加权超矩阵

设ANP的控制层中有元素p1, ⋯, pn, 网络层有元素组C1, ⋯, CN, 其中Ci中有元素ei1, ⋯, eini, i = 1, ⋯, N。以控制层元素Ps(s=1,⋯,m) 为准则, 以Cj中元素ejl(l=1,⋯,nj)为次准则,元素组Ci中元素按其对ejl的影响力大小进行间接优势度比较, 即Ps下构造判断矩阵:

记Wij为 $$ \begin{bmatrix} \quad\omega_{i1}^{(j1)} & \quad\omega_{i1}^{(j2)} & \quad\cdots & \quad\omega_{i1}^{(jn_j)}\quad \\ \quad\omega_{i2}^{(j1)} & \quad\omega_{i2}^{(j2)} & \quad\cdots & \quad\omega_{i2}^{(jn_j)}\quad \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \quad\omega_{in_i}^{(j1)} & \quad\omega_{in_i}^{(j2)} & \quad\cdots & \quad\omega_{in_i}^{(jn_j)}\quad \\ \end{bmatrix} $$

这里Wij的列向量就是Ci中元素ei1, ⋯, eini对Cj中元素ej1, ⋯, ejnj的影响程度排序向量。若Cj中元素不受Ci中元素影响,则Wij = 0。这样最终可获得Ps下, 超矩阵W: $$ W=\begin{array}{lc} \mbox{}& \begin{array}{cccccccccc} 1 & \cdots & n_1 & 1 & \cdots & n_2 & \cdots & 1 & \cdots & n_N \end{array}\\ \begin{array}{c} 1 \\ \vdots \\ n_1 \\ 1 \\ \vdots \\ n_2 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ n_N \end{array} & \left[\begin{array}{cccc} \quad W_{11} & \qquad W_{12} & \quad\cdots & \quad W_{1N} \\ \\ \vdots \\ \\ \quad W_{21} & \qquad W_{22} & \quad\cdots & \quad W_{2N} \\ \\ \\ \vdots \\ \\ \quad W_{N1} & \qquad W_{N2} & \quad\cdots & \quad W_{NN} \end{array}\right] \end{array} $$ 这样的非负超矩阵共有m个, 其子块Wij是列归一化的, 但W却不是列归一化的。为此以Ps 为准则, 对Ps下各组元素对准则Cj(j=1,⋯,N)的重要性进行比较。

与CJ无关的元素组对应的排序向量分量为零,由此得加权矩阵 $$ \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN} \\ \end{matrix} \right] $$ 对超矩阵w的元素加权,得$\bar{W}=\bar{(W_{ij})}$,其中 $$ \bar{(W_{ij})} = a_{ij}W_{ij},\quad i=1,\cdots,N \quad j=1,\cdots,N $$ W̄为加权超矩阵,其列和为1,称为列随机矩阵。为简单起见以下的超矩阵均为加权超矩阵,并仍用符号W表示。

极限相对排序向量

设(加权)超矩阵W的元素为Wij,则Wij的大小反映了元素i对元素j的一步优势度。考虑到i对j的优势度还可根据 $$ \sum_{k=1}^N \omega_{ik}\omega_{kj} $$ 其结果被称为二步优势度,是W2的元素,且W2仍为列归一化。

当下式存在时 W∞ = limt → + ∞WtW∞的第j列就是Ps下网络层中各元素对于元素j的极限相对排序向量。

主要ANP结构的超矩阵

内部独立的递阶层次结构

图2 内部独立的循环系统超矩阵

此时可把目标层C1看作既属于控制层又属于网络层元素(图), C1下超矩阵为 $$ W=\left[ \begin{matrix} 0 & & \\ W_{21} & 0 & \\ & W_{32} & \\ & & \ddots \\ \end{matrix} \right] $$

内部依存的递阶层次结构

图3 内部依存的循环系统

控制层C1仍作为网络层的一部分,其超矩阵为 $$ W=\left[ \begin{matrix} W_{11} & & & \\ W_{21} & W_{22} & & \\ & W_{32} & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots\\ & & W_{NN-1} & W_{NN}\\ \end{matrix} \right] $$

内部独立的循环系统超矩阵

图4 内部独立的循环系统

其结构如图所示,W是不可约非负矩阵,最大特征值λ = 1是单根，但除1外还有其它模为1的特征根 $$ W=\left[ \begin{matrix} 0 & & & W_{N} \\ W_{1} & 0 & & \\ & W_{ 2} & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots\\ & & W_{N-1} & 0 \\ \end{matrix} \right] $$

内部依存的循环系统

图5 内部依存的循环系统

其超矩阵为 $$ W=\left[ \begin{matrix} W_{11} & W_{12} & \cdots & W_{1N} \\ W_{21} & W_{22} & \cdots & W_{2N} \\ & & \vdots & \\ W_{N1} & W_{N2} & \cdots & W_{NN} \\ \end{matrix} \right] $$

一般网络结构

由于一般网络结构(图) 总可将元素划分为控制层和网络层两大层次, 而任何网络层均可看成内部依存的结构,故经过适当简化总可转化为上述几种情形之一进行处理。

例题求解

题目综述

考虑成本、维修和耐用性三个方面，在美国车、日本车以及欧洲车之间进行选择。其中，成本、维修和耐用性之间相互影响，已知三者的权重矩阵如下：

ㅤ	成本	维修	耐用性
成本	0.3	0.2	0.6
维修	0.4	0.25	0.3
耐用性	0.3	0.55	0.1

一致性指标说明

当判断矩阵具有完全一致性时,一致性指标CI=0

当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：

阶数	1	2	3	4	5	6	7	8	9
RI	0	0	0.58	0.8	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

当$CR=\frac{CI}{RI}<0.10$时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵

引入判断矩阵最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度量判断矩阵偏离一致性的指标，即用$CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于0），表明判断矩阵的一致性越好。

ANP求解

问题抽象为ANP结构如图[^5]

图6 例题对应ANP结构

首先写出三种因素：成本、维修和耐用性对于三类车辆的判断矩阵，并求出对应特征向量与随机一致性比率CR。

接着，考虑题中给出的成本、维修和耐用性之间的相互影响，得到初始超矩阵如下表：

假定加权矩阵A如下，可得到对应的加权超矩阵表 $$ A=\left[ \begin{matrix} 0.5 & 1 \\ 0.5 & 0 \\ \end{matrix} \right] $$

将加权超矩阵稳定处理，即自乘4-6次，得到稳定的极限超矩阵。（注意，每一步自乘之前需要将列向量归一化，否则加权超矩阵会越变越小，不会收敛）

ANP决策结果表明：美国车是最优选择，成本是决定性因素。

修改记录

2022-08-21， @杜劲达重新整理

2020-12-10， @刘哲恺重新整理

2018-01-28， @李婧松吴娴王浥清创建初始页面

参考文献

Abraham Charnes, William W Cooper, and Edwardo Rhodes. Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research, 2(6):429–444, 1978.↩︎