1 模型概览
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。
其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。
整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。
1.1 学科分属
层次分析法是一种基于数学与心理学的用于组织和分析结构化技术。主要应用在不确定情况下及具有多数个评估准则的决策问题上。 层次分析法发展的目的是将复杂的问题系统化，由不同层面给予层级分解，并透过量化的运算，找到脉络后加以综合评估。
1.2 历史发展
层次分析法为 1971 年Thomas L. Saaty 所发展出来。
1971年，Saaty 替美国国防部从事应变计划问题（Contingency Planning Problem）的研究，并于 1972 年在美国国家科学基金会资助下，进行各产业电力合理分配的研究。
1972 年 7 月，Saaty 在开罗替埃及政府从事‘无和平、无战争’（No Peace, No War）对埃及经济、政治状况的影响研究时，开始将有关的判断尺度化。
1973 年，Saaty 将 AHP 法应用在苏丹运输研究后，整个理论才趋成熟；
其后在 1974 年至 1978 年间，经不断应用修正及证明后，使得整个理论更臻完备。1980 年，Saaty 遂将此一理论整理成专书问世，随后在 1982 年至 1987 年间，相继出版有关 AHP 理论的专著共三册。
AHP 发展以来，在国际期刊发表的相关论文不断的出现，而且应用的范围也相当的广泛.
2 模型介绍
2.1 具体模型介绍
2.1.1层次分析法的基本步骤
- 建立递接层次结构模型；
- 构造出各层次中的所有判断矩阵；
- 层次单排序及一致性检验；
- 层次总排序及一致性检验；
- 计算权重向量。
下面对每个步骤进行详细的分析：
建立递接层次结构模型：
层次可以分为三类：最高层、中间层、最底层。最高层又称为目标层O，它是分析问题的预定目标或理想结果；中间层称为准测层C，包含了需要考虑的准则、子准则；最底层称为措施层P，包括了为实现目标层可以选择的方案。
一个例子是：假期旅游有P1、P2 、P3 3 个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。下面是构建的层次结构：
目标层O 选择旅游地
准则层C 景色、费用、居住、饮食、旅途
措施层P P1、P2、P3
使用软件：亿图图示
这个层次结构图要放在建模论文中
构造判断矩阵：
对准则层中的各个因子对措施选择的影响大小，可以选择构造判断矩阵来量化其影响。判断的方法大体为两两比较，具体措施如下：每次取两个因子和，以表示和对 Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵 表示，称 A 为Z-X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若和对Z的影响之比为 ，则和对Z的影响之比应为。
其次，关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度，下表为标度的含义：
标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为a_{ij}，那么因素j与因素i重要性之比为
表1 标度的含义
准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据或可搜集到相关数据，可以考虑利用这些数据进行计算。
层次单排序及一致性检验:
层次单排序：判断矩阵A对应于最大特征值的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值。
一致性检验：上述的构造比较判断矩阵的方法虽能减少其他因素的干扰，但是综合全部比较结果是总会有一定的非一致性，所以应当对比较判断矩阵做一致性检验以决定是否能够接受它。对于阶数为n的判断矩阵，检验步骤如下：
（1）计算一致性指标：
（2）查找相应的平均随机一致性指标。常用的RI值如下：
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
RI | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
表2 RI的值
（3）计算一致性比例
当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则对判断矩阵作适当修正。
一致性检验不通过——向一致阵修改
层次总排序及一致性检验
层次总排序的权值计算如下：
层B\层A | ...,... | B层总排序权值 | |||
... | |||||
... | |||||
... | ... | ... | ... | ... | ... |
... |
表3 层次总排序合成表
总的一致性指标计算如下：
设B层中与A_j相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为，，相应的平均随机一致性指标为，则B层总排序随机一致性比例为：
当时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
计算权重向量
三种方法计算权重：
建议在比赛时三种方法都使用
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
2.1.2 一个简单的例子
某毕业生参与应聘，经过双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息构建了一个层次结构模型，如下图所示：
图1 层次结构模型
准则层的判断矩阵如下表所示：
A | ||||||
1 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1/2 | |
1 | 1 | 2 | 4 | 1 | 1/2 | |
1 | 1/2 | 1 | 5 | 3 | 1/2 | |
1/4 | 1/4 | 1/5 | 1 | 1/3 | 1/3 | |
1 | 1 | 1/3 | 3 | 1 | 1 | |
2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 |
表4 准则层的判断矩阵
方案层的判断矩阵如下表所示：
| | | |||||||||
1 | 1/4 | 1/2 | 1 | 1/4 | 1/5 | 1 | 3 | 1/3 | |||
4 | 1 | 3 | 4 | 1 | 1/2 | 1/3 | 1 | 1/7 | |||
2 | 1/3 | 1 | | 5 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | ||
C_2 | C_3 | C_1 | C_2 | C_3 | |||||||
1 | 1/3 | 5 | 1 | 1 | 7 | C_1 | 1 | 7 | 9 | ||
3 | 1 | 7 | 1 | 1 | 7 | C_2 | 1/7 | 1 | 1 | ||
1/5 | 1/7 | 1 | 1/7 | 1/7 | 1 | C_3 | 1/9 | 1 | 1 |
表5 方案层的判断矩阵
层次总排序的结果如下表所示：
准则 | / | 研究课题 | 发展前途 | 待遇 | 同事情况 | 地理位置 | 单位名气 | 总排序权值 |
准则层权值 | / | 0.1507 | 0.1792 | 0.1886 | 0.0472 | 0.1464 | 0.2879 | / |
方案层单排序权值 | 工作1 | 0.1365 | 0.0974 | 0.2426 | 0.2790 | 0.4667 | 0.7986 | 0.3952 |
ㅤ | 工作2 | 0.6250 | 0.3331 | 0.0879 | 0.6491 | 0.4667 | 0.1049 | 0.2996 |
ㅤ | 工作3 | 0.2385 | 0.5695 | 0.6694 | 0.0719 | 0.0667 | 0.0965 | 0.3052 |
表6 层次总排序
根据层次总排序的权值，该生最满意的工作为工作1。
2.2 模型变种
- 改进层次分析法；
- 区间层次分析法；
- 模糊层次分析法；
- 改进模糊层次分析法；
- 灰色层次分析法。
3 模型应用
3.1 常见应用场景
可以应用层次分析法的决策情况包括：
选择——从一组给定的备选方案中选择一个备选方案，通常涉及多个决策标准。
排名——将一组备选方案按从最理想到最不理想的顺序排列。
优先排序——确定一组备选方案中成员的相对优点，而不是选择一个或仅仅对它们进行排序
资源分配——在一组备选方案中分配资源
基准测试——将自己组织的流程与其他同类最佳组织的流程进行比较
质量管理——处理质量和质量改进的多维方面
冲突解决——解决目标或立场明显不一致的各方之间的争端2
阐述该模型的常用场景
3.2 数学建模竞赛应用
1993B 足球队次排名
问题概述：设计根据成绩表排出球队名次的办法，讨论为了排定名次成绩表数据需要满足什么样的条件。
问题分析：早期题目较为简单，解题基本思路为使用层次分析法，构造比较矩阵，计算权向量，检验一致性。
层次分析法的应用——彩票方案的优选模型（2002年国赛B题）题目略3
2008年国赛B题一等奖关于高等教育学费标准的评价及建议
[2016年国赛MATLAB创新奖B题]中国人民大学-小区开放道路通行影响
3.3 其他领域的应用与拓展
层次分析法在复杂决策情况下的应用已经数以千计，[6]并在涉及规划、资源分配、优先级设置和备选方案选择等问题上产生了广泛的结果。[5]其他领域包括预测、全面质量管理、业务流程再造、质量功能部署和平衡计分卡。[1]许多 AHP 应用程序从未向全世界报告过，因为它们发生在大型组织的高层，在这些组织中，出于安全和隐私考虑而禁止披露。但是文献中讨论了 AHP 的一些用途。最近这些包括：
决定如何最好地减少全球气候变化的影响(Fondazione Eni Enrico Mattei)
量化的整体质量的软件系统（微软公司）
选择大学教师（宾夕法尼亚布卢姆斯堡大学）
决定离岸制造工的位置（剑桥大学）
评估运营跨国石油管道的风险（美国土木工程师协会）
决定如何最好地管理美国流域（美国农业部）
更有效地定义和评估SAP实施方法（SAP 专家）
从环境、经济、社会、制度和文化方面对社区可持续性进行综合评估。
加速桥梁建设决策工具，帮助确定加速桥梁建设 (ABC) 相对于传统施工方法的可行性，并根据具体情况选择合适的施工和承包策略。
AHP 有时用于为特定情况设计高度具体的程序，例如根据历史意义对建筑物进行评级。它最近被应用于一个项目，该项目使用视频片段来评估弗吉尼亚州的高速公路状况。公路工程师首先用它来确定项目的最佳范围，然后向立法者证明其预算的合理性。
企业资金分配问题
乡村旅游脱贫贡献研究-以A县为例
层次分析法在太阳镜产品质量评价中的应用
层次分析法判断矩阵的权重可以用熵法计算得到的权重进行修正。
这种 AHP 方法的变体称为 AHP-EM。
4.软件/程序介绍
4.1 模拟介绍
MATLAB代码如下
其中txt3.txt的内容为